Abstand Punkt - Gerade
- Bestimmen Sie zuerst die Gleichung der Ebene E, welche orthogonal zu g steht und den Punkt P enthält.
- Hierfür brauchen Sie den Richtungsvektor von g, den Sie als Normalenvektor für E verwenden.
- Mit dem Normalenvektor stellen Sie die Koordinatengleichung auf. E: n1x1 + n2x2 + n3x3=d
- Da P auf E liegt können Sie die Koordinaten von P für x1, x2 und x3 einsetzen und erhalten d.
- Berechnen Sie den Schnittpunkt S von g mit E. Wenn g in Parameterform gegeben ist, setzen Sie die Koordinaten einfach in E ein und lösen nach dem Parameter t auf. Den Wert, den Sie für t erhalten haben setzen Sie wieder in g ein und erhalten den Schnittpunkt P konkret.
- Die Länge des Verbindungsvektors von S nach P ist dann der Abstand des Punktes P zur Ebene E.
Formal
Rechenbeispiel
Gegeben seien
und P(4|3|-1).Bestimme den Abstand von P zu g.
Lösung
Bestimme zunächst eine Ebene E, senkrecht zu g. Der Richtungsvektor von g ist damit der Normalenvektor von E. Das liefert E: x1+x2-4x3=d.
P soll in E liegen. Somit setzen wir P in die Koordinatengleichung von E ein und erhalten d: 4+3-4·(-1)=11=d. Nun haben wir die vollständige Koordinatengleichung:
E: x1+x2-4x3=11
Wir ermitteln nun den Schnittpunkt von g mit E, indem wir die Koordinaten von g einsetzen. Die Koordinaten von g sind x1=1+t, x2=t und x3=2-4t. Eingesetzt in E ergibt sich(1+t)+t-4(2-4t)=11 ⇒ 18t-7=11 ⇒ t=1
t eingesetzt in g liefert den Schnittpunkt:
Abstand paralleler Geraden
Wenn Sie einmal das Verfahren zur Bestimmung des Abstands eines Punktes zu einer Geraden verstanden haben, dann ist es ein Leichtes den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden zu ermitteln:
Wählen Sie einfach einen Punkt auf der einen Geraden (z.B. den Punkt der durch den Stützvektor beschrieben wird) und bestimmen dann den Abstand zur anderen Geraden mit dem oben vorgestellten Verfahren.
Rechenbeispiel
Bestimme den Abstand der folgenden beiden Geraden:
Wähle z.B. den Stützvektor von g1 als denjenigen Punkt P(1|0|3) auf g1 von dem aus wir den Abstand zu g2 bestimmen.
Wir stellen die Gleichung der Ebene E auf, welche senkrecht zu g2 steht und P enthält. Der Richtungsvektor von g2 dient dabei als Normalenvektor für E.
Es folgt E: 0x1-1x2+0x3=d oder kürzer E: -x2=d. Das sieht zwar etwas merkwürdig aus, ist aber doch eine Ebenengleichung!
P liegt auf E und wir erhalten durch Einsetzen der Koordinaten (in unserem Fall also nur der x2-Koordinate) -0=0=d. Die Gleichung für E lautet daher: E: -x2=0.
Jetzt berechnen wir den Schnittpunkt S von g2 mit E, durch Einsetzen der Koordinaten von g2 in E: -(1-t)=0 ⇒ t=1. Einsetzen von t in g2 liefert die konkreten Koordinaten von S:
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